将军饮马和最短线路问题

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将军饮马和最短线路问题
湖北省钟祥市罗集一中(431925)田道元 雷玉梅
同学们,对最短线路问题你一定很陌生吧.让我们先用一个历史故事向你介绍这个问题.
古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者,名叫海伦.有一天,有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题:如图,将军从A地出发到河边饮马,然后再到B地军营视察,显然有许多走法.问走什么样的路线最短呢 精通数理的海伦稍加思索,便作了完善的回答.这个问题后来被人们称作"将军饮马"问题.
下面我们来看看数学家是怎样解决的.海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题.根据公理1:连接两点的所有线中,直线段最短.只知道两点间直线段最短,那么显然要把折线变成直线再解.如果直接连AB,与l不会相交,怎么办呢 当A,B位于l的异侧时,就有交点了.于是我们就希望在l的另一侧找一点A′ ,使得连A′B与l相交于P点后(这时A′P+PB最短)线段A′P与AP一样长.由对称的知识可知道,A关于l的对称点就有资格扮演A′的角色.
解:如图1先作A关于l的对称点A′,连接A′B与l相交于P点,则AP+PB就最小.那么这样作出的AP+PB是否真的最小呢 要证明它只需要在l上任取一点P′,证明AP′+P′A>AP+PB就行了.这点好证明:事实上因为A′,A关于l对称,有AP=A′P,AP′=A′P′,又由公理2:三角形的两边之和大于第三边.
AP′+P′B=A′P′+P′B>A′B=A′P+PB=AP+PB.
原来海伦本解决本问题时,是利用作对称点把折线问题转化成直线问题求解的.后来这一方法已形成了思想,它在解决许多问题中都在起作用.现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理.
事实上,不仅是将军有这样的烦恼,运动着的车,船,飞机,包括人们每天走路都要遇到这样的问题.古今中外的任何旅行者总希望寻求最佳的旅行路线,尽量走近道,少走冤枉路.我们把这类求近道的问题统称最短线路问题.另外,从某种意义上说,一笔画问题也属这类问题.看来最短线路问题在生产,科研和日常生活中确实重要且应用广泛.
图1
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