对一道国外数学竞赛试题的简洁证明与命题的推广

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内容摘要：

对一道国外数学竞赛试题的简洁证明与命题的推广对一道国外数学竞赛试题的简洁证明与命题的推广
深圳市蛇口中学王远征(518067)
试题:已知任意实数满足,
求证: (第19届莫斯科数学奥林匹克试题)
证明:因为,所以,
把分别看作是首项为1,公比分别是的两个等比数列的和.
于是逆用无穷递缩等比数列的求和公式与基本不等式定理(若)得:
对该命题进行推广可得到一批和谐优美的不等式.
由二元推广到多元,由二次推广到高次得如下命题:
命题1.如果,,那么:
证明:因为,所以,
特别地,当时,有:
命题2.如果,,那么:
对偶地,发现还有如下几个正确的命题.
命题3.如果任意实数满足,
那么: (1)
证明:事实上不等式(1)等价于
此不等式显然成立.故不等式 (1)成立.
根据如下定理:
如果正值函数在R+上有意义,且对任意的,那么:
可得命题1的对偶命题:
命题4.如果,,那么:
Sunday, April 27, 2003
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