对Prony算法在低频振荡分析中实际应用问题的探讨

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内容摘要：

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对Prony算法在低频振荡分析中实际应用问题的探讨
沈伟,熊俊杰,万秋兰
(东南大学电气工程系,江苏南京210096)
摘要:利用现场实测数据进行信号处理分析,得到振
荡特征参数成为电力系统低频振荡研究的一种实用方
法.针对Prony算法在低频振荡分析中实际应用的问题
即现场实测数据的非平稳性和样本矩阵的数值计算问题
进行了探讨.对非平稳信号采用离散傅立叶变换作为
Prony分析的数据预处理,对于样本矩阵数值计算问题
采用了一种数学处理方法.用现场录波数据作为算例验
证了方法的有效性.
关键词:Prony分析非平稳信号离散傅立叶变换
0引言
电力系统中发电机经输电线并列运行时,在
扰动下会发生发电机转子间的相对摇摆,并在缺
乏阻尼时引起持续振荡.此时, 发电机间电气功
率和功角发生振荡,输电线上功率也会发生相应
振荡,当振荡较严重时,系统不能维持同步运行,
稳定破坏.由于其振荡频率很低,一般为0.1～
2.5Hz,故称为低频振荡(又称为功率振荡,机
电振荡)[1].随着PMU新技术的应用,直接利
用现场实测的功角或功率数据进行信号处理分
析,得到振荡特征参数成为电力系统低频振荡研
究的一种实用方法.
低频振荡分析方法有很多,如特征值法,数
值仿真法,这些方法通常都需要获得系统的模型
参数结构等.随着电力系统日益复杂,这些传统
方法的系统建模难度将很大,并且计算矩阵可能
导致维数灾的情况发生.低频振荡表现在功率或
者功角数据曲线幅值呈衰减或者增大的振荡,正
适合用Prony数学模型来描述,它可以直接计算
各模式的幅值,频率和阻尼比[2][3].但它是一种
对平稳信号分析的算法,在系统振荡时信号的非
平稳性对算法会有影响.另Prony分析涉及到很
多矩阵运算问题,其中形成样本矩阵的运算量很
大,在数据点数较多,拟合阶数较高时,矩阵A
的条件数会很大,方程组的病态程度会很严重,
有可能难以找到方程组准确的解.
本文就上述问题进行了探讨.对非平稳信号
采用了离散傅立叶变换到频域,在频域上用零空
间取代3Hz以上的高频部分,直接在频域上滤
除采样数据中的高频噪声频谱,然后再通过傅立
叶反变换到时域.在此基础上再应用Prony方法
分析各模式的幅值,频率和阻尼比.对于样本矩
阵数值计算问题则应用数学的方法加以处理.以
上方法在实际应用中获得了较好的效果.
1Prony算法基本原理
Prony方法是针对等间隔采样数据,用一组
指数项的线性组合来拟合这些数据点,从中可以
直接得到幅值,相位,频率和衰减系数[4].
令 ( )
1
p
nx n b zii
i


(n=0,1,…,N-1)(1)
作为测量数据x(0),x(1),…,x(N-1)的模型.更
一般的b
m
和z
m
假定是复数,且
exp( )b A ji i i (2a)
exp[( 2 ) ]z j f ti i i (2b)
其中,A
i
为振幅,
i
为相位(单位为弧度),
i
为衰减因子,f
i
表示对应的振荡频率,Δt代
表采样间隔,p为模型的阶数.
为了求出A
i
,
i
,i 和fi,使误差平方和
12 | ( ) ( )|
0
N
x n x n
n




(3)
最小即可求出,但这将成为一个复杂的最小二乘
问题,为了避免求解非线性方程组,Prony算法
通 过 构 造 一 常 系 数 线 性 差分 方 程 组
( )x n ( )
1
p
a x n i
i
i


,n=0,1,…,N-1(4)
其中系数由ia组成的多项式
( ) ( ) 0
01
ppp i
z z z a z
i i
ii




.(5)
2非平稳信号的处理问题
Prony算法本质上是一种线性函数组合的拟
2
合方法,所以对数据进行预处理是Prony分析的
重要组成部分.对于低频振荡分析,功率或者功
角数据曲线通常含有直流分量,为了消除直流分
量对辨识结果的影响,一般利用均值法去除直流
分量,相对放大交流信号.
在数据的测量,传输等环节都不可避免的会
引入噪声.噪声的形式多种多样,对于电力系统
来说,噪声还来自于负荷的变动,发电出力的变
化,系统开关动作,以及小干扰等[5].可以认为,
发电机出力的变化和系统开关动作是根据事先
的计划,是确定性的,而在比较短的时间内可以
认为小扰动发生得并不多.主要的噪声来源于系
统负荷的随机变化,而这种噪声可以认为是白噪
声.电力系统中最重要的非线性包括摇摆方程中
电磁转矩的非线性,由于发电机励磁顶值限制和
磁饱和造成的非线性,负荷的非线性等.在电力
系统发生大扰动后,功率数据曲线中产生的非平
稳信号会对Prony算法产生影响.
另外高频采样噪声也是造成信号污染的重
要部分,所以为了消除噪声的影响,需要对采样
数据进行低通滤波,滤掉噪声的同时要求保留数
据波形中的有用信号,这样才能保证Prony分析
结果的有效性.
低频振荡分析所关心的频率为0.1～2.5Hz
范围内,滤波方法有很多种,无限冲击响应滤波
器(IIR),有限冲击响应滤波器(FIR)是通过
将采样数据和设计的滤波器系数时域上的卷积
来达到频域上的滤波[6].本文通过将采样数据序
列进行离散傅立叶变换到频域,在频域上用零空
间取代3Hz以上的高频部分,以直接在频域上
滤除采样数据中的高频噪声频谱,然后再通过傅
立叶反变换到时域.在此基础上再应用Prony方
法分析各模式的幅值,频率和阻尼比.
根据Niquist采样定理,采样频率大于信号
最高频率的2倍时,才不会产生频谱混叠现象.
实际应用中,采样频率刚刚大于2倍最高频率还
不够[7],而是应该有相当的裕度.在低频振荡分
析中,关心的频率段为0.1Hz～2.5Hz,按4倍
最高频率(10Hz)进行采样,采样周期为0.1秒,
通常在0.05～0.1s即可.更高的采样频率没有必
要,一方面不利于减小噪声的影响,另一方面会
增加运算量,所以还需要对滤波后的数据重新采
样.
3矩阵数值计算问题
Prony分析涉及到很多矩阵运算问题,其中
形成样本矩阵的运算量是最大的,在采样数据点
数过多时,会造成样本矩阵计算维数过大,因此
在实际应用中对Prony分析初始预测阶数定为
60,60阶对于一般系统来说通常足够了,不满
120个采样点则按[N/2]计算,N为总采样点数.
在方程组求解运算过程中,如求解以下方程
组
AX=B(6)
式中A A A A


1 2 N
,为M N 阶矩阵,
M N ,
1 2
T
A a a a
i i i Mi

,(1,2, ,i N )为
列 向 量,
T
X x x x


1 2 N
,
TB b 1 2 Mb b.
矩阵A的条件数会件数会影响到解的准确
性.在数据点数较多,拟合阶数较高时,矩阵A
的条件数会很大,方程组的病态程度会很严重,
也就难以找到方程组准确的解.
当矩阵的条件数很大时,可用如下方法对方
程组求解.该方法可以降低相关矩阵的条件数,
改善方程组解的准确性[8].首先对式(7)所示方程
组进行求解
A X B (7)
式中
A A A
A
A A A




1 2 N
1 2 N
(8)
解得
T
X x x x


1 2 N
(9)
然后利用下式求得方程组式(6)的解:
T
x x x
X
A A A




1 2 N
1 2 N
(10)
4Prony算例分析
4.1模拟信号分析
理想输入信号
-0.7t -0.3t
-0.3t
( ) 10e sin(2 2.2t)+20e sin(2 0.7t)+
15e sin(2 1.6t)+10
x t



3
加入白噪声后波形如图一所示,采样间隔为
0.01s,总时间为10s.
图一,数据曲线比较图
首先利用均值法消除模拟数据信号中的直
流分量影响,然后再对数据时域序列进行DFT
变换到频域,得到的频谱曲线如图二所示,从图
中可以看出三个频率带分布在0.7Hz,1.6Hz,
2.2Hz附近.
图二DFT变换频谱图
将DFT变换的频谱中大于3Hz的高频部分
用零空间代替,再通过傅立叶反变换(IDFT)得到
滤除3Hz以上频率的时域上的数据序列.对滤
波后的数据进行Prony分析,阶数预测阀值定为
81 10 ,则计算阶数为17阶,计算共9个振荡
模式,如表所示,模式1,2,3分别对应理想信
号的三个模式,其时域拟合精度AOF=69.48dB.
表一,Prony分析模式表
4.2实测录波数据分析
录波数据如图三所示,其中已去除直流分量
37.022.采样间隔频率为0.01s,共686个数据
点.从图中可以看出,录波测量数据含有大量的
毛刺噪声干扰,并且在第1.3s系统发生大扰动,
此为信号中的非平稳部分.
图三数据曲线比较图
对686个数据点进行离散傅立叶变换变换
得到的频谱如图四所示,由于采样间隔为0.01
s,所以频率范围为-50Hz～50Hz,图中只显示
了3Hz范围内的频谱.
模式振幅频率衰减系数阻尼比
120.1450.70022-0.3010.068255
215.1571.5997-0.304250.030256
310.7282.2019-0.752350.054299
40.5624900.028691
50.690382.9771-0.460820.024628
66.00292.5821-3.35340.20241
70.29291.1981-0.783340.1035
822.1420.30364-6.24970.95643
90.00035
2
2.84770.88156-0.04921
4
图四DFT变换频谱图
如果取1.5s后的数据进行离散傅立叶变换
得到的频谱如图所示,对比图四,可以明显的看
出两个频带分布在0.6Hz和1.3Hz周围,这说明
傅立叶变换抗噪声和非平稳信号效果较好.
图五取1.5s后DFT变换频谱图
对1.5s后的滤波数据进行Prony分析,阶
数预测阀值定为81 10 ,则预测阶数为19阶,
共10个振荡模式,模式1是主导模式,和傅立
叶变换的结果相吻合,时域拟合精度
AOF=45.023dB
表二,Prony分析模式表
模式振幅频率衰减系数阻尼比
10.99091.2879-0.334740.041331
21.02290.53794-1.31980.36373
30.801362.0908-1.13880.086359
40.693242.3324-1.02630.069864
50.608031.5102-1.13540.11881
60.148950.613760.16409-0.042512
70.236222.7265-0.304690.017783
80.180772.9953-0.38780.020602
90.126030-0.123551
100.034573.06730.19217-0.009971
5小结
通过5.1和5.2两个Prony分析算例,可以
看出离散傅立叶变换不仅能从频域上进行滤波,
而且由于其对噪声和非平稳信号不敏感,所以可
以作为Prony分析的数据预处理或作为校核
Prony分析结果准确性的方法.在数值计算上,
通过合理的选取预测阶数和对病态方程组的处
理,避免了矩阵运算中可能出现的数值不稳定的
情况.
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分析,华北电力大学学报,第31卷第2期2004年3月
作者简介:
沈伟(1982-),男,江苏镇江人,研究生,主要研究方
向电力系统稳定分析.
熊俊杰(1980-),男,江西临川人,研究生,主要研究
方向电力系统稳定分析.
万秋兰(1950-),女,江西南昌人,教授,博导,主要
研 究 方 向 电 力 系 统 稳 定 分 析 与 电 力 市 场.
Email:qlwan@seu.edu.cn
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